Kaalaman

Paano mag-factor ng isang polynomial ng ikalawang degree (equation ng pangalawang degree)

Posted on
May -Akda: Monica Porter
Petsa Ng Paglikha: 17 Marso. 2021
I -Update Ang Petsa: 1 Hulyo 2024
Anonim
Solving a quadratic equation when not equal to zero by factoring
Video.: Solving a quadratic equation when not equal to zero by factoring

Nilalaman

Sa artikulong ito: Magpatuloy sa pamamagitan ng pagsubok at errorProcede sa pamamagitan ng agnasAng "triple game" Pagkakaiba ng dalawang mga parisukatGamitin ang pormula ng kuwadratik na gumagamit ng isang calculator

Ang isang polynomial ay binubuo ng isang variable (x) itinaas sa isang tiyak na kapangyarihan na tinatawag na degree ng polynomial, at ilang iba pang mga term ng mas mababang degree at / o maraming iba pang mga constants. Upang ma-factorize ang isang polynomial ng ikalawang degree (na kung saan ay tinatawag ding "quadratic equation") ay nangangahulugan na mabawasan ang paunang pagpapahayag sa isang produkto ng mga expression ng mga mas maliit na degree na maaaring pagkatapos ay pinarami ng isa pa. Ang kaalamang ito ay bahagi ng kurso ng high school at higit pa, kaya ang artikulong ito ay maaaring mahirap maunawaan kung hindi mo pa nakuha ang kinakailangang antas ng matematika.


yugto

Upang magsimula



  1. Isulat ang iyong expression. Ang pamantayang anyo ng isang pangalawang degree equation ay:

    ax + bx + c = 0
    Magsimula sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga tuntunin ng iyong equation ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan, mula sa pinakamalaking hanggang sa pinakamaliit, tulad ng sa karaniwang form. Halimbawa

    6 + 6x + 13x = 0
    Susuriin namin ang expression na ito upang mapadali ang gawain sa pamamagitan lamang ng paglipat ng mga termino:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Hanapin ang pinagtibay na form gamit ang isa sa mga pamamaraan na ipinaliwanag sa ibaba. Ang factorization ay magbibigay ng dalawang mas maikling expression na magbibigay ng paunang polynomial kung pinarami natin ang mga ito ng isa:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    Sa halimbawang ito, (2x +3) at (3x + 2) mga kadahilanan ng paunang expression, 6x + 13x + 6.




  3. Suriin ang iyong trabaho! I-Multiply ang mga kadahilanan na iyong nakilala. Pagkatapos ay pagsamahin ang magkatulad na mga termino at magagawa ka na. Magsimula sa:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Simulan nating subukan ang expression na ito, pagpaparami ng mga term ng dalawang expression na makukuha:

    6x + 4x + 9x + 6
    Mula doon, maaari kaming magdagdag ng 4x at 9x dahil ang mga ito ay mga term ng parehong degree. Alam namin pagkatapos na ang aming mga kadahilanan ay tama dahil nahuhulog kami nang maayos sa pagpapahayag ng pag-alis:

    6x + 13x + 6.

Pamamaraan 1 Magpatuloy sa pamamagitan ng pagsubok at pagkakamali

Kung nakikipag-usap ka sa isang medyo simpleng polynomial, dapat mong mahanap ang agnas nito bilang isang produkto ng kadahilanan nang isang sulyap. Halimbawa, maraming mga matematiko ang nakakakita ng ekspresyong iyon 4x + 4x + 1 nagbibigay ng mga kadahilanan (2x + 1) at (2x + 1) sa pamamagitan ng ugali at may karanasan (malinaw naman, hindi ito ganoon kadali sa kaso ng mga kumplikadong polynomial). Para sa halimbawang ito, kumuha tayo ng isang mas karaniwang expression:


3x + 2x - 8

.



  1. Gumawa ng isang listahan ng mga kadahilanan ng koepisyent Wala at c. Gamit ang expression ng form ax + bx + c = 0, kilalanin ang mga koepisyent Wala at c at ilista ang kaukulang mga kadahilanan. Para sa: 3x + 2x - 8, nagbibigay ito:

    a = 3 at may isang pares lamang ng mga kadahilanan: 1 * 3
    c = -8 at apat na pares ng mga kadahilanan: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, at -1 * 8..



  2. Isulat sa iyong piraso ng papel ang dalawang pares ng mga panaklong na may puwang upang isulat sa loob nito. Papasok ka ng mga constants para sa bawat expression sa puwang na ibinigay:

    (x) (x).



  3. Bago ang x, sumulat ng isang pares ng mga posibleng mga kadahilanan para sa koepisyent Wala. Para sa koepisyent Wala sa aming halimbawa, 3x, may isang posibilidad lamang:

    (3x) (1x).



  4. Pagkatapos punan ang dalawang natitirang walang laman na puwang na may isang pares ng mga kadahilanan para sa koepisyent c. Halimbawa halimbawa 8 at 1. Isulat ang mga ito:

    (3x8) (X1).



  5. Magpasya ngayon ang pag-sign (pa o kulang) upang ilagay sa pagitan ng x at ang bilang na inilagay mo sa kanya. Ayon sa pag-sign ng orihinal na expression, posible na mahanap kung ano ang dapat na mga palatandaan ng mga constants. tawag h at k ang mga constants ng aming mga kadahilanan:

    Kung palakol + bx + c pagkatapos (x + h) (x + k)
    Kung palakol - bx - c o ax + bx - c pagkatapos (x - h) (x + k)
    Kung palakol - bx + c pagkatapos (x - h) (x - k)
    Sa aming halimbawa, 3x + 2x - 8, ang mga palatandaan ay dapat mailagay sa sumusunod na paraan: (x - h) (x + k), na nagbibigay sa amin ng sumusunod na dalawang kadahilanan:

    (3x + 8) at (x - 1).



  6. Suriin ang iyong factored form sa pamamagitan ng muling pag-unlad nito. Ang isang unang mabilis na pagsubok ay upang suriin kung ang gitnang term ay may tamang halaga. Kung ang x ay hindi mabuti, kung gayon maaaring napili mo ang maling pares ng mga kadahilanan para sa koepisyent c. Suriin natin ang aming mga resulta:

    (3x + 8) (x - 1)
    Sa pamamagitan ng paggawa ng isang pagdami, nakukuha namin:

    3x - 3x + 8x - 8
    Pagdaragdag ng magkatulad na mga termino (-3x) at (8x) upang gawing simple ang expression na ito, nakuha namin:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Alam namin ngayon na marahil ay natukoy namin ang mga maling kadahilanan:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Kung kinakailangan, palitan ang iyong pinili ng mga kadahilanan. Sa aming halimbawa, subukan natin ang 2 at 4 sa halip na 1 at 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    Ngayon ang aming koepisyent c ay -8, ngunit ang mga pagdaragdag (3x * -4) at (2 * x) ay nagbibigay ng -12x at 2x, na bilang karagdagan ay hindi palaging nagbibigay ng paunang halaga ng b, iyon ay + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. Kung kinakailangan, balikan ang pagkakasunud-sunod. Invert namin sa aming halimbawa ang lugar ng 2 at 4:

    (3x + 4) (x - 2)
    Ngayon koepisyent c ay palaging mabuti, ngunit ang mga koepisyent ng mga term sa x ay nagkakahalaga ng oras na ito -6x at 4x. Kapag idinagdag, nagbibigay ito:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Napakapit kami sa paunang halaga ng 2x na hinahangad nating hanapin, ngunit hindi maganda ang tanda.



  9. Suriin muli ang mga palatandaan kung kinakailangan. Panatilihin namin ngayon ang parehong pagkakasunud-sunod, ngunit palitan namin ang mga palatandaan:

    (3x - 4) (x + 2)
    Ang koepisyent bago c ay palaging mabuti, at ang mga term sa x ay nagkakahalaga ngayon (6x) at (-4x). Dahil:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Kaya nakukuha namin ang 2x na aming orihinal. Kaya marahil ay natagpuan namin ang tamang mga kadahilanan.

Pamamaraan 2 Magpatuloy sa pamamagitan ng agnas

Ang pamamaraang ito ay magpapahintulot sa amin na makilala ang lahat ng mga posibleng kadahilanan upang makuha ang mga koepisyent Wala at c at gamitin ang mga ito upang matukoy kung aling mga kadahilanan ang tama. Kung ang mga numero ay napakalaki o ang iba pang mga pamamaraan ng pagsubok at error ay mukhang masyadong mahaba, maaari mong gamitin ang pamamaraang ito. Dalhin ang sumusunod na halimbawa:

6x + 13x + 6

.



  1. Multiply ang koepisyent Wala sa pamamagitan ng koepisyent c. Sa aming halimbawa, Wala ay pantay sa 6 at c ay pantay din sa 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Hanapin ang koepisyent b sa pamamagitan ng factoring at pagkatapos ay pagsubok ang mga kadahilanan na nakuha. Naghahanap kami ng dalawang numero na mga kadahilanan ng produkto Wala * c na natukoy namin at kaninong halaga ang halaga ng koepisyent na "b" (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Ipakilala ang dalawang numero na nakuha mo lamang sa iyong equation; ilagay ito sa harap ng x, upang ang kanilang kabuuan ay pantay sa koepisyent b. Kunin natin ang mga titik k at h upang kumatawan sa dalawang numero na nakuha, 4 at 9:

    ax + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Factor ang iyong polynomial sa pamamagitan ng pagpangkat. Ayusin ang equation upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang kadahilanan ng unang dalawang term at ang pinakamalaking pangkaraniwang kadahilanan ng huling dalawang term. Pagkatapos ay dapat kang makakuha ng isang kabuuan ng dalawang magkaparehong mga form na may kathang naka-fact. Ipagsama ang dalawang koepisyentaryo at ilagay ang mga ito sa mga panaklong sa harap ng form na iyong na-fact; makuha mo ang iyong dalawang mga kadahilanan:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

Pamamaraan 3 Ang "triple game"

Ang pamamaraang ito ay halos kapareho sa nauna. Ito ay binubuo ng pagsusuri sa mga posibleng kadahilanan para sa mga produkto ng mga koepisyent Wala at c, pagkatapos ay gamitin ang mga ito upang mahanap ang halaga ng b. Isaalang-alang ang sumusunod na equation:

8x + 10x + 2



  1. Multiply ang koepisyent Wala sa pamamagitan ng koepisyent c. Tulad ng paraan ng agnas, makakatulong ito sa amin na makilala ang mga potensyal na kandidato para sa koepisyent b. Sa aming halimbawa, Wala ay pantay sa 8 at c ay nagkakahalaga ng 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Hanapin ang dalawang mga numero na ang produkto ay ang bilang na natagpuan nang mas maaga (16) at na ang kabuuan ay nagbibigay ng koepisyent na "b". Ang hakbang na ito ay magkapareho sa paraan ng agnas - iyon ay, susubukan at tanggihan namin ang mga kandidato para sa mga patuloy. Ang produkto ng mga koepisyent Wala at c ay katumbas ng 16, at ang koepisyent c ay pantay sa 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Kunin ang dalawang numero at palitan ang mga ito sa formula na "triple play". Dalhin ang dalawang numero mula sa nakaraang hakbang - tawagan natin sila h at k - at ipakilala ang mga ito sa sumusunod na expression:

    ((ax + h) (ax + k)) / a

    Pagkatapos makuha namin:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Hanapin kung alin sa mga parenthetical expression sa numerator ay nahahati sa koepisyent Wala. Sa halimbawang ito, sinubukan namin kung (8x + 8) o (8x + 2) ay maaaring nahahati sa 8. (8x + 8) ay nahahati sa 8, pagkatapos ay hahatiin natin ang expression na ito sa pamamagitan ng Wala at iwanan ang iba pang ekspresyon na ito ay.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Ang expression na panatilihin natin dito ay ang isa na nananatili pagkatapos ng paghahati ng koepisyent Wala : (x + 1).



  5. Hanapin - kung mayroong - isang mas malaking karaniwang kadahilanan sa parehong mga panaklong. Sa aming halimbawa, ang pangalawang expression ay may isang mas malaking karaniwang kadahilanan ng 2, dahil ang 8x + 2 = 2 (4x + 1). Pagsamahin ang sagot na ito sa expression na nahanap mo sa nakaraang hakbang. Sa gayon ay natagpuan mo ang dalawang kadahilanan ng iyong polynomial.

    2 (x + 1) (4x + 1).

Pamamaraan 4 Pagkakaiba ng dalawang mga parisukat

Ang ilang mga coefficient ng polynomial ay maaaring makilala bilang "mga parisukat", ibig sabihin iyon bilang mga produkto ng pagpaparami ng dalawang numero. Sa pamamagitan ng pagkilala sa mga parisukat, maaari mong saliksik ang ilang mga polynomial nang mas mabilis. Halimbawa halimbawa ang equation:

27x - 12 = 0



  1. Magsimula sa pamamagitan ng pagpapatunay sa lahat sa isang mas malaking karaniwang kadahilanan kung posible. Sa aming halimbawa, nakikita namin ang 27 at 12, na pareho sa mga nahahati sa 3, kaya maaari nating "sumabog" ang paunang expression tulad ng sumusunod:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. Kilalanin kung ang mga koepisyent ng iyong equation ay mga parisukat na numero. Upang magamit ang pamamaraang ito, dapat kang makahanap ng mga parisukat na ugat para sa iyong mga koepisyent (tandaan na hindi namin isinasaalang-alang ang mga negatibong palatandaan - habang nakikipag-usap tayo sa mga parisukat, maaaring sila ay produkto ng dalawang positibong numero o negatibo)

    9x = 3x * 3x at 4 = 2 * 2.



  3. Gamit ang parisukat na ugat na natagpuan mo, isulat ang iyong mga kadahilanan. Kunin ang mga halaga ng Wala at c nauna nang nahanap - Wala = 9 at c = 4 - bago mahanap ang kanilang square root - √Wala = 3 at √c = 2. Ito ang magiging coefficient ng aming mga factored expression:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Pamamaraan 5 Gamit ang pormula ng kuwadratik

Kung ang lahat ng mga pamamaraan sa itaas ay nabigo at hindi mo mahanap ang tamang mga kadahilanan para sa iyong equation, pagkatapos ay gamitin ang quadratic formula. Dalhin ang sumusunod na halimbawa:

x + 4x + 1 = 0



  1. Kunin ang mga halaga ng koepisyentong "a", "b" at "c" at palitan ang mga ito sa sumusunod na quadratic formula:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Pagkatapos makuha namin ang expression:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Malutas ang equation upang makahanap ng x. Tulad ng nakikita mo sa itaas, dapat kang makakuha ng dalawang mga halaga ng x:


    x = -2 + √ (3) o x = -2 - √ (3).



  3. Gamitin ang halaga ng x upang mahanap ang mga kadahilanan. Ipasok ang mga halaga ng x na nakuha dati bilang mga constants ng dalawang mga expression ng polynomial. Ito ang iyong mga kadahilanan. tawag h at k ang mga halaga ng x, at isulat ang dalawang factored form:

    (x - h) (x - k)
    Sa kasong ito, ang pangwakas na resulta ay:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

Pamamaraan 6 Gamit ang isang calculator

Kung pinahihintulutan kang gumamit ng isang calculator ng graphing, magkaroon ng kamalayan na ito ay mapadali ang iyong gawain, lalo na sa mga pagsusulit. Ang mga tagubiling ito ay may bisa lamang para sa mga graphical na calculator ng tatak ng Texas Instrument. Isaalang-alang ang sumusunod na equation:

y = x - x - 2



  1. Ipasok ang iyong equation sa calculator. Kailangan mong gamitin ang "resolver equation", iyon ay ang sabihin sa screen.



  2. Gumawa ng isang graphical na representasyon ng iyong equation sa calculator. Matapos ipasok ang equation, pindutin - dapat mong makita ang graphical na representasyon ng curve ay lilitaw (mas tiyak, makakakuha ka ng isang "arc" dahil nagtatrabaho ka sa mga polynomial).



  3. Hanapin ang mga punto ng intersection ng arko gamit ang x-axis (x). Dahil ang mga equation ng polynomial ay ayon sa kaugalian na nakasulat sa anyo: ax + bx + c = 0, ito ang dalawang halaga ng x kung saan ang expression ay pantay sa zero:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Kung hindi mo mabasa ang mga halaga ng kung saan ang iyong curve ay tumatawid sa x-axis, pindutin pagkatapos. Pindutin o piliin ang "zero". Ilipat ang cursor sa kaliwa ng isa sa mga interseksyon at pindutin ang. Pagkatapos ay ilipat ang cursor sa kanan ng intersection na ito at pindutin muli. Susunod, ilipat ang cursor nang malapit hangga't maaari sa intersection at pindutin muli. Malalaman ng calculator ang halaga ng x. Gawin ang susunod na bagay sa susunod para sa iba pang intersection.



  4. Sa wakas, ipakilala ang mga halaga ng x na nakuha sa nakaraang hakbang sa isang expression na two-factor expression. Kung tumawag tayo h at k ang aming dalawang mga halaga ng x, gagamitin namin ang sumusunod na expression:

    (x - h) (x - k) = 0
    At kung gayon, makakakuha kami ng mga sumusunod na dalawang kadahilanan:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Isang lapis
  • Papel
  • Ang isang pangalawang degree na equation (o kuwadradong equation)
  • Isang graphing calculator (opsyonal)